ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — вписанные тела

Разбор — 1 балл

Так как радиус основания конуса равен радиусу шара $R$, центр шара лежит в плоскости основания конуса — в центре окружности основания. Поэтому высота конуса (расстояние от вершины конуса до плоскости основания, то есть до центра шара) равна радиусу шара: $h=R$.

Объём конуса:

$$V_{\text{к}}=\frac{1}{3}{S}_{\text{осн}}\cdot h=\frac{1}{3}\pi R^2\cdot R=\frac{1}{3}\pi R^3.$$

Объём шара:

$$V_{\text{ш}}=\frac{4}{3}\pi R^3.$$

Отношение объёмов:

$$\frac{V_{\text{ш}}}{V_{\text{к}}}=\frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{\frac{1}{3}\pi R^3}=4.$$

По условию $V_{\text{к}}=12$, поэтому

$$V_{\text{ш}}=4\cdot 12=48.$$

Ответ: $48$.