ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — объём

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей параллелепипеда $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ (его центр). Центральная симметрия относительно $O$ переводит параллелепипед в себя, причём каждая вершина переходит в противоположную ей: $A\leftrightarrow C_1$, $B\leftrightarrow D_1$, $C\leftrightarrow A_1$, $D\leftrightarrow B_1$.

Рассмотрим многогранник с вершинами $A$, $B$, $C$, $D$, $C_1$, $D_1$. При центральной симметрии относительно $O$ его вершины переходят в $C_1$, $D_1$, $A_1$, $B_1$, $A$, $B$, то есть весь многогранник переходит во второй многогранник с вершинами $A$, $B$, $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ — вторую "половину" параллелепипеда.

Центральная симметрия сохраняет объёмы фигур, поэтому эти два многогранника равны по объёму. Вместе они без пересечения по объёму составляют весь параллелепипед (общая у них только плоскость сечения $AB{C}_1{D}_1$), значит объём каждого равен половине объёма параллелепипеда.

По условию объём параллелепипеда равен $378$, поэтому искомый объём равен

$$\frac{378}{2}=189.$$

Ответ: $189$.