ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — площадь поверхности

Разбор — 1 балл

Пусть $R$ — общий радиус основания цилиндра и конуса. По условию высота равна радиусу: $h=R.$

Площадь боковой поверхности цилиндра равна

$$S_{\text{бок ц}}=2\pi Rh=2\pi R\cdot R=2\pi R^2.$$

Образующая конуса — это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами, равными радиусу основания $R$ и высотой $h=R$ (один катет лежит в плоскости основания, другой — высота, опущенная из вершины на центр основания). По теореме Пифагора

$$l=\sqrt{R^2+h^2}=\sqrt{R^2+R^2}=R\sqrt{2}.$$

Площадь боковой поверхности конуса равна

$$S_{\text{бок к}}=\pi Rl=\pi R\cdot R\sqrt{2}=\sqrt{2}\pi R^2.$$

Сравним обе боковые поверхности:

$$\frac{S_{\text{бок ц}}}{S_{\text{бок к}}}=\frac{2\pi R^2}{\sqrt{2}\pi R^2}=\sqrt{2},$$

то есть боковая поверхность конуса в $\sqrt{2}$ раза меньше боковой поверхности цилиндра. По условию $S_{\text{бок ц}}=6\sqrt{2},$ поэтому

$$S_{\text{бок к}}=\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=6.$$

Ответ: 6.