Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности… — 3 задание ЕГЭ профиль

№3 Площадь поверхности средняя 2026

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы равна 36. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.

Разбор — 1 балл

Обозначим вершины призмы $A B C A_{1} B_{1} C_{1}$ , а $M$ , $N$ , $M_{1}$ , $N_{1}$ — середины рёбер $A B$ , $A C$ , $A_{1} B_{1}$ , $A_{1} C_{1}$ соответственно.

Рисунок к решению

Так как $M N$ — средняя линия треугольника $A B C$ , то $A B = 2 A M$ , $A C = 2 A N$ , причём $A M$ лежит на прямой $A B$ , а $A N$ — на прямой $A C$ .

Рассмотрим параллелограммы $A_{1} M_{1} M A$ и $A_{1} B_{1} B A$ : их стороны $A A_{1}$ , $M M_{1}$ , $B B_{1}$ равны и параллельны, а сторона $A M$ вдвое меньше стороны $A B$ и лежит с ней на одной прямой. Значит, параллелограмм $A_{1} B_{1} B A$ состоит из двух параллелограммов, равных $A_{1} M_{1} M A$ :

$S_{A_{1} B_{1} B A} = 2 S_{A_{1} M_{1} M A} .$

Аналогично, так как $A N$ вдвое меньше $A C$ ,

$S_{A_{1} C_{1} C A} = 2 S_{A_{1} N_{1} N A} .$

Для третьей пары граней сторона $M_{1} N_{1}$ вдвое меньше $B_{1} C_{1}$ и параллельна ей (так как $M N$ — средняя линия), поэтому

$S_{B_{1} C_{1} C B} = 2 S_{M_{1} N_{1} N M} .$

Площадь боковой поверхности исходной призмы равна сумме площадей всех трёх боковых граней, а боковой поверхности отсечённой — сумме площадей их половин:

$S_{исх} = S_{A_{1} B_{1} B A} + S_{B_{1} C_{1} C B} + S_{A_{1} C_{1} C A} = 2 S_{A_{1} M_{1} M A} + 2 S_{M_{1} N_{1} N M} + 2 S_{A_{1} N_{1} N A} = 2 S_{отс} .$

По условию $S_{отс} = 36$ , поэтому

$S_{исх} = 2 \cdot 36 = 72.$

Ответ: $72$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — площадь поверхности

Сообщить об ошибке

Ещё задания №3