ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — вписанные тела

Центр сферы $O$ совпадает с центром основания конуса. Рассмотрим точку $A$ на окружности основания конуса и вершину конуса $B$: тогда $AB$ — образующая конуса, а $OA$ и $OB$ — радиусы сферы, так как и окружность основания, и вершина конуса лежат на сфере.

Так как $O$ — центр основания конуса, отрезок $OB$ — высота конуса, перпендикулярная плоскости основания, поэтому $OB\perp OA$. Треугольник $AOB$ прямоугольный с катетами $OA=OB=R$ и гипотенузой $AB=l$. По теореме Пифагора:

$$l^2=R^2+R^2=2R^2,R^2=\frac{l^2}{2}.$$

По условию $l=97\sqrt{2}$, поэтому

$$R^2=\frac{{\left(97\sqrt{2}\right)}^2}{2}=\frac{97^2\cdot 2}{2}=97^2,R=97.$$

Ответ: $97$.