ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — площадь поверхности

Площадь ромба с диагоналями $d_1$ и $d_2$ равна половине их произведения:

$$S_{\text{осн}}=\frac{1}{2}{d}_1{d}_2=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4=6.$$

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам, поэтому сторона ромба $a$ является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$:

$$a=\frac{1}{2}\sqrt{d_1^2+d_2^2}=\frac{1}{2}\sqrt{3^2+4^2}=\frac{1}{2}\cdot 5=\frac{5}{2}.$$

Площадь поверхности прямой призмы складывается из площадей двух оснований и боковой поверхности, состоящей из четырёх прямоугольников со сторонами $a$ и высотой призмы $h=2$:

$$S=2S_{\text{осн}}+S_{\text{бок}}=2S_{\text{осн}}+4ah.$$

Подставим известные значения:

$$S=2\cdot 6+4\cdot \frac{5}{2}\cdot 2=12+20=32.$$

Ответ: 32.