ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — объём

Разбор — 1 балл

Пусть ребро куба равно $a$, тогда $a^3=144$.

Рассмотрим вершину $A$ куба, из которой выходят рёбра $AB$, $AD$ и $A{A}_1$. Сечение проходит через середины $M$ и $N$ рёбер $AB$ и $AD$ и параллельно ребру $A{A}_1$, поэтому отсекает треугольную призму с основаниями $AMN$ и $A_1{M}_1{N}_1$ (где $M_1$, $N_1$ — середины $A_1{B}_1$ и $A_1{D}_1$).

Основание $AMN$ — прямоугольный треугольник с катетами $\frac{a}{2}$ и $\frac{a}{2}$, поэтому его площадь равна

$$S_{AMN}=\frac{1}{2}\cdot \frac{a}{2}\cdot \frac{a}{2}=\frac{a^2}{8}.$$

Высота этой призмы равна ребру куба $a$, так как сечение параллельно ребру $A{A}_1$, идущему на всю его длину.

Объём отсечённой призмы равен

$$V=S_{AMN}\cdot a=\frac{a^2}{8}\cdot a=\frac{a^3}{8}=\frac{144}{8}=18.$$

Ответ: $18$.