ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — объём

Разбор — 1 балл

Многогранник с вершинами $B$, $C$, $A_1$, $B_1$, $C_1$ получается из правильной треугольной призмы $ABC{A}_1{B}_1{C}_1$, если удалить из неё треугольную пирамиду с вершиной $A$ и основанием $A_1{B}_1{C}_1$.

Объём призмы равен произведению площади основания на высоту (боковое ребро). По условию площадь основания равна $4$, боковое ребро равно $6$, поэтому

$$V_{\text{пр}}=S_{\text{осн}}\cdot h=4\cdot 6=24.$$

Удалённая пирамида имеет то же основание $A_1{B}_1{C}_1$ площадью $4$ и вершину $A$, расстояние от которой до плоскости $A_1{B}_1{C}_1$ равно боковому ребру призмы $6$. Её объём равен

$$V_{\text{пир}}=\frac{1}{3}\cdot S_{\text{осн}}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 4\cdot 6=8.$$

Тогда объём искомого многогранника равен разности объёмов призмы и пирамиды:

$$V=V_{\text{пр}}-V_{\text{пир}}=24-8=16.$$

Ответ: $16$.