ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — углы в многограннике

Разбор — 1 балл

Рассмотрим правильный шестиугольник $A_1{B}_1{C}_1{D}_1{E}_1{F}_1$ — верхнее основание призмы. Проведём его диагонали, соединяющие противоположные вершины: они пересекаются в одной точке — центре шестиугольника $O$ — и образуют 6 углов по $\frac{360^{\circ }}{6}=60^{\circ }$. Каждая такая диагональ делит угол правильного шестиугольника ($120^{\circ }$) пополам, то есть на углы по $60^{\circ }$. Значит, диагонали разбивают шестиугольник на 6 равносторонних треугольников.

Пусть сторона шестиугольника (а значит, и ребро призмы) равна $a=31$. Так как треугольники равносторонние, $B_{1}O=O{E}_1=a$. Большая диагональ $B_1{E}_1$ проходит через центр и состоит из двух таких отрезков:

$$B_1{E}_1=B_{1}O+O{E}_1=a+a=2a.$$

В треугольнике $B_{1}E{E}_1$ сторона $B_1{E}_1$ лежит в плоскости верхнего основания, а ребро $E{E}_1$ — боковое ребро правильной призмы, перпендикулярное обоим основаниям. Поэтому $B_1{E}_1\perp E{E}_1$, и треугольник $B_{1}E{E}_1$ прямоугольный с прямым углом при вершине $E_1$. Тогда

$$\mathrm{tg}\angle B_{1}E{E}_1=\frac{B_1{E}_1}{E{E}_1}=\frac{2a}{a}=2.$$

Это отношение не зависит от длины ребра, поэтому при $a=31$ ответ такой же.

Ответ: $2$.