ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — углы в многограннике

Разбор — 1 балл

Грани $A{A}_1{D}_{1}D$ и $B{B}_1{C}_{1}C$ куба параллельны, а отрезки $A{D}_1$ и $B{C}_1$ — их диагонали, идущие в одном направлении. Поэтому прямые $A{D}_1$ и $B{C}_1$ параллельны.

Рассмотрим плоскость грани $DC{C}_1{D}_1$. Точка $K$ — середина ребра $C{C}_1$, точка $M$ — середина ребра $CD$, значит отрезок $KM$ соединяет середины двух сторон треугольника $DC{C}_1$, то есть является его средней линией. По свойству средней линии треугольника $KM\parallel D{C}_1$.

Так как $KM\parallel D{C}_1$ и $A{D}_1\parallel B{C}_1$, угол между прямыми $KM$ и $A{D}_1$ равен углу между прямыми $D{C}_1$ и $B{C}_1$ — то есть углу $\angle B{C}_{1}D$ в треугольнике $B{C}_{1}D$.

Стороны треугольника $B{C}_{1}D$ — это $BD$, $B{C}_1$ и $D{C}_1$, каждая из которых является диагональю одной из граней куба. Все грани куба — равные квадраты, поэтому их диагонали равны, и треугольник $B{C}_{1}D$ равносторонний. Значит, все его углы равны $60^{\circ }$, в том числе

$$\angle B{C}_{1}D=60^{\circ }.$$

Следовательно, угол между прямыми $KM$ и $A{D}_1$ равен $60^{\circ }$.

Ответ: $60$.