ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — площадь поверхности

Диагональ куба с ребром $a$ соединяет две противоположные вершины. Применим теорему Пифагора дважды: сначала найдём диагональ основания — квадрата со стороной $a$, она равна $a\sqrt{2}$, а затем для прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $a\sqrt{2}$ найдём диагональ куба:

$$d=\sqrt{a^2+{\left(a\sqrt{2}\right)}^2}=\sqrt{a^2+2a^2}=a\sqrt{3}.$$

По условию $d=11$, поэтому $a\sqrt{3}=11$, откуда $a=\frac{11}{\sqrt{3}}$.

Куб состоит из 6 одинаковых квадратных граней площадью $a^2$ каждая, поэтому площадь его поверхности равна

$$S=6a^2=6\cdot {\left(\frac{11}{\sqrt{3}}\right)}^2=6\cdot \frac{121}{3}=2\cdot 121=242.$$

Ответ: $242$.