ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — площадь поверхности

Разбор — 1 балл

Площадь поверхности правильной пирамиды равна сумме площади основания и площади боковой поверхности.

В основании пирамиды лежит квадрат $ABCD$ со стороной $10$, а высота пирамиды $SO=12$, где $O$ — центр основания. Площадь основания:

$$S_{\text{осн}}=10^2=100.$$

Боковая поверхность пирамиды состоит из 4 равных равнобедренных треугольников. Рассмотрим грань $SAB$: пусть $M$ — середина стороны $AB$. Отрезок $OM$ соединяет центр квадрата с серединой стороны и равен половине стороны:

$$OM=\frac{AB}{2}=5.$$

Высота пирамиды $SO$ перпендикулярна плоскости основания, поэтому $SO\perp OM$ и треугольник $SOM$ прямоугольный. Апофема $SM$ (высота боковой грани) находится по теореме Пифагора:

$$SM=\sqrt{S{O}^2+O{M}^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13.$$

Площадь одной боковой грани:

$$S_{△}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot SM=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 13=65.$$

Площадь всей боковой поверхности:

$$S_{\text{бок}}=4\cdot 65=260.$$

Площадь полной поверхности пирамиды:

$$S_{\text{полн}}=S_{\text{осн}}+S_{\text{бок}}=100+260=360.$$

Ответ: $360$.