ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — вписанные тела

Разбор — 1 балл

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту, поэтому у них общий радиус $r$. По условию высота равна радиусу основания: $h=r$.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна

$$S_{\text{ц}}=2\pi rh=2\pi r\cdot r=2\pi r^2.$$

По условию $S_{\text{ц}}=5\sqrt{2}$, значит $2\pi r^2=5\sqrt{2}$, откуда $\pi r^2=\frac{5\sqrt{2}}{2}$.

Образующая конуса — это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $r$ и $h$, поэтому по теореме Пифагора

$$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{r^2+r^2}=r\sqrt{2}.$$

Площадь боковой поверхности конуса равна $S_{\text{к}}=\pi rl$. Подставим $l=r\sqrt{2}$:

$$S_{\text{к}}=\pi r\cdot r\sqrt{2}=\pi r^2\sqrt{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}\cdot \sqrt{2}=\frac{5\cdot 2}{2}=5.$$

Ответ: $5$.