ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — площадь поверхности

Разбор — 1 балл

Шар вписан в цилиндр, значит он касается обоих оснований и боковой поверхности цилиндра. Отсюда радиус основания цилиндра равен радиусу шара $R$, а высота цилиндра равна диаметру шара: $H=2R$.

Площадь полной поверхности цилиндра складывается из площадей двух оснований и боковой поверхности:

$$S_{\text{ц}}=2\pi R^2+2\pi RH=2\pi R^2+2\pi R\cdot 2R=6\pi R^2.$$

По условию $S_{\text{ц}}=30$, поэтому $6\pi R^2=30$, откуда $\pi R^2=5$.

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле $S_{\text{ш}}=4\pi R^2$. Подставим найденное значение:

$$S_{\text{ш}}=4\pi R^2=4\cdot 5=20.$$

Ответ: $20$.