ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — площадь поверхности

Пусть $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $AC$ основания призмы $ABC{A}_1{B}_1{C}_1,$ а $M_1,$ $N_1$ — соответствующие точки на верхнем основании. Сечение, параллельное боковому ребру и проходящее через среднюю линию $MN,$ отсекает треугольную призму $AMN{A}_1{M}_1{N}_1.$

Боковая поверхность исходной призмы состоит из трёх параллелограммов: $A_1{B}_{1}BA,$ $B_1{C}_{1}CB,$ $A_1{C}_{1}CA.$ Боковая поверхность отсечённой призмы — из параллелограммов $A_1{M}_{1}MA,$ $M_1{N}_{1}NM,$ $A_1{N}_{1}NA.$

Так как $MN$ — средняя линия треугольника $ABC,$ то $AM=\frac{1}{2}AB,$ $AN=\frac{1}{2}AC$ и $MN=\frac{1}{2}BC.$ В каждой паре соответствующих параллелограммов высота (расстояние между боковыми рёбрами) одна и та же, а основание отсечённого параллелограмма вдвое меньше. Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, поэтому каждая грань отсечённой призмы вдвое меньше соответствующей грани исходной:

$$S_{A_1{M}_{1}MA}=\frac{1}{2}{S}_{A_1{B}_{1}BA},S_{M_1{N}_{1}NM}=\frac{1}{2}{S}_{B_1{C}_{1}CB},S_{A_1{N}_{1}NA}=\frac{1}{2}{S}_{A_1{C}_{1}CA}.$$

Складывая три равенства, получаем, что вся боковая поверхность отсечённой призмы вдвое меньше боковой поверхности исходной:

$$S_{\text{отс}}=\frac{1}{2}{S}_{\text{исх}}=\frac{8}{2}=4.$$

Ответ: 4.