Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани… — 3 задание ЕГЭ профиль

№3 Углы в многограннике сложная 2026

Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом $6 0^{\circ} .$ Высота пирамиды равна 12. Найдите объём этой пирамиды.

Разбор — 1 балл

Обозначим вершину пирамиды $S$ , а основание — прямоугольник $A B C D$ . Пусть $S A D$ — та боковая грань, которая перпендикулярна плоскости основания; тогда три остальные грани — $S A B$ , $S B C$ , $S C D$ — наклонены к основанию под углом $6 0^{\circ}$ .

Опустим из вершины $S$ перпендикуляр $S M$ на плоскость основания — это высота пирамиды, $S M = 12$ . Грань $S A D$ перпендикулярна основанию и содержит высоту $S M$ (так как $S M ⊥$ основанию и $S M$ лежит в этой грани), поэтому основание высоты — точка $M$ — лежит на прямой $A D$ .

Рассмотрим грань $S A B$ . Так как $S M ⊥$ основанию, а отрезок $A M$ (часть $A D$ ) перпендикулярен $A B$ (угол прямоугольника при вершине $A$ прямой), по теореме о трёх перпендикулярах $A S ⊥ A B$ . Значит, угол между гранью $S A B$ и основанием — это угол $∠ S A M$ между наклонной $S A$ и её проекцией $A M$ , и по условию он равен $6 0^{\circ}$ . Из прямоугольного треугольника $S A M$ (прямой угол при $M$ ):

$tg ∠ S A M = \frac{S M}{A M} \Rightarrow tg 6 0^{\circ} = \frac{12}{A M} \Rightarrow A M = \frac{12}{3} = 43 .$

Аналогично для грани $S C D$ , тоже наклонённой под $6 0^{\circ}$ : угол между ней и основанием равен $∠ S D M$ , откуда $D M = \frac{S M}{tg 6 0 ^{\circ}} = 43$ . Так как точка $M$ лежит между $A$ и $D$ на отрезке $A D$ ,

$A D = A M + M D = 43 + 43 = 83 .$

Теперь рассмотрим грань $S B C$ . Опустим из точки $M$ перпендикуляр $M H$ на прямую $B C$ . Так как $S M ⊥$ основанию, по теореме о трёх перпендикулярах $S H ⊥ B C$ , поэтому угол между гранью $S B C$ и основанием — это угол $∠ S H M$ , равный по условию $6 0^{\circ}$ . Из прямоугольного треугольника $S H M$ :

$tg ∠ S H M = \frac{S M}{M H} \Rightarrow M H = \frac{12}{3} = 43 .$

Так как $A D ∥ B C$ и $M$ лежит на $A D$ , отрезок $M H$ — это расстояние между прямыми $A D$ и $B C$ , то есть длина стороны прямоугольника $A B$ :

$A B = M H = 43 .$

Площадь основания:

$S_{A B C D} = A D \cdot A B = 83 \cdot 43 = 32 \cdot 3 = 96.$

Объём пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \cdot S M \cdot S_{A B C D} = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot 96 = 384.$

Ответ: $384$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — углы в многограннике

Сообщить об ошибке

Ещё задания №3