ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — вписанные тела

Разбор — 1 балл

Рассмотрим треугольник $AOB$, где $O$ — центр сферы (он же центр основания конуса), $A$ — точка окружности основания, $B$ — вершина конуса; $AB$ — образующая конуса.

Так как центр сферы совпадает с центром основания конуса, $BO\perp AO$, а точки $A$, $B$ лежат на сфере, поэтому $AO=BO=R$.

По теореме Пифагора:

$$A{B}^2=A{O}^2+B{O}^2=2R^2.$$

По условию $AB=15\sqrt{2}$, поэтому:

$$2R^2=(15\sqrt{2}{)}^2=225\cdot 2=450,$$

$$R^2=225,R=15.$$

Ответ: $15$.