ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — объём

Разбор — 1 балл

Рассмотрим вершину куба, из которой выходят три ребра $OA$, $OB$, $OC$ длиной $a$ каждое (где $a$ — ребро куба). Через середину $M$ ребра $OA$ и середину $N$ ребра $OB$ проведена плоскость, параллельная ребру $OC$.

Эта плоскость отсекает треугольную призму: её основание — прямоугольный треугольник $OMN$ (прямой угол при вершине $O$, так как рёбра куба взаимно перпендикулярны) с катетами $OM=\frac{a}{2}$ и $ON=\frac{a}{2}$, а высота призмы равна длине ребра $OC$, то есть $a$ — секущая плоскость параллельна $OC$, поэтому призма проходит сквозь куб от одной грани до противоположной.

Площадь основания призмы:

$$S=\frac{1}{2}\cdot OM\cdot ON=\frac{1}{2}\cdot \frac{a}{2}\cdot \frac{a}{2}=\frac{a^2}{8}.$$

Объём призмы:

$$V_{\text{пр}}=S\cdot a=\frac{a^2}{8}\cdot a=\frac{a^3}{8}.$$

Так как объём куба $V_{\text{куб}}=a^3=32$, объём отсечённой призмы:

$$V_{\text{пр}}=\frac{32}{8}=4.$$

Ответ: $4$.