ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — вписанные тела

Разбор — 1 балл

Рассмотрим треугольник $AOB$, где $O$ — центр сферы (он же центр основания конуса), $A$ — точка окружности основания конуса, $B$ — вершина конуса; тогда $AB$ — образующая конуса.

Так как центр сферы совпадает с центром основания конуса, $BO$ — высота конуса, перпендикулярная плоскости основания и, следовательно, радиусу $AO$: $BO\perp AO$. Точки $A$ и $B$ лежат на сфере, поэтому $AO=BO=R$ — оба радиуса сферы.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $AOB$:

$$A{B}^2=A{O}^2+B{O}^2=R^2+R^2=2R^2.$$

По условию $R=84\sqrt{2}$, поэтому $R^2=84^2\cdot 2=7056\cdot 2=14112$, и

$$A{B}^2=2\cdot 14112=28224.$$

Отсюда

$$AB=\sqrt{28224}=168.$$

Ответ: $168$.