ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — объём

Разбор — 1 балл

Пусть $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ — основания исходной призмы $ABC{A}_1{B}_1{C}_1$. Секущая плоскость, параллельная боковому ребру, отсекает призму $AMN{A}_1{M}_1{N}_1$.

Так как $MN$ — средняя линия треугольника $ABC$, треугольник $AMN$ подобен треугольнику $ABC$ с коэффициентом подобия $\frac{1}{2}$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$$\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}}={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}.$$

У отсечённой и исходной призм совпадают высоты (расстояния между основаниями вдоль бокового ребра), поэтому отношение объёмов призм равно отношению площадей их оснований:

$$\frac{V_{\text{отс}}}{V_{\text{исх}}}=\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}}=\frac{1}{4}.$$

По условию $V_{\text{отс}}=15$, поэтому объём исходной призмы:

$$V_{\text{исх}}=4\cdot V_{\text{отс}}=4\cdot 15=60.$$

Ответ: $60$.