ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — объём

Разбор — 1 балл

Пусть $S$ — площадь основания исходной треугольной призмы $ABC{A}_1{B}_1{C}_1,$ а $h$ — её высота. Тогда объём исходной призмы равен $V=Sh.$

Сечение проходит через среднюю линию $MN$ основания (где $M,$ $N$ — середины сторон $AB$ и $AC$) и параллельно боковому ребру, поэтому отсекает призму $AMN{A}_1{M}_1{N}_1$ с той же высотой $h,$ что и у исходной призмы.

Треугольник $AMN,$ лежащий в основании отсечённой призмы, подобен треугольнику $ABC$ с коэффициентом $\frac{1}{2}$ (так как $AM:AB=AN:AC=1:2$ и угол при вершине $A$ общий). Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому площадь $AMN$ в $2^2=4$ раза меньше площади $ABC.$

Следовательно, объём отсечённой призмы равен

$$V_o=\frac{1}{4}Sh=\frac{1}{4}V.$$

Отсюда

$$V=4V_o=4\cdot 4,5=18.$$

Ответ: 18.