ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — вписанные тела

Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники. Цилиндр вписан в параллелепипед, значит, окружность в основании цилиндра вписана в прямоугольник основания и касается всех его сторон, а это возможно только если сам прямоугольник — квадрат. Диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата, поэтому сторона основания параллелепипеда равна

$$a=2\cdot 8=16.$$

Так как цилиндр вписан в параллелепипед, он касается и верхней, и нижней граней, поэтому высота параллелепипеда равна высоте цилиндра, то есть 8. Объём параллелепипеда равен

$$V=a^2\cdot h=16^2\cdot 8=256\cdot 8=2048.$$

Ответ: 2048.