ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — объём

Пусть боковые рёбра треугольной пирамиды, выходящие из вершины $S$, — это $SA$, $SB$, $SC$, взаимно перпендикулярные и равные $6$ каждое.

Так как $SA$, $SB$, $SC$ взаимно перпендикулярны, ребро $SC$ перпендикулярно плоскости $(SAB)$, образованной двумя другими рёбрами. Поэтому удобно рассмотреть пирамиду с основанием $SAB$ и вершиной $C$ — тогда $SC$ является высотой этой пирамиды.

Треугольник $SAB$ прямоугольный (угол при вершине $S$ прямой, так как $SA\perp SB$) с катетами $SA=SB=6$:

$$S_{SAB}=\frac{1}{2}\cdot SA\cdot SB=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 6=18.$$

Объём пирамиды:

$$V=\frac{1}{3}\cdot S_{SAB}\cdot SC=\frac{1}{3}\cdot 18\cdot 6=36.$$

Ответ: $36$.