ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — объём

Пусть $d$ — диаметр банки, а $h$ — искомый уровень сока в банке. Банка и стаканы — цилиндры, поэтому объём сока в банке равен:

$$V=\frac{\pi d^2}{4}\cdot h.$$

Диаметр стакана в $4$ раза меньше диаметра банки, то есть равен $\frac{d}{4}$, а уровень сока в каждом из $40$ стаканов равен $8$ см. Суммарный объём сока во всех стаканах:

$$V=40\cdot \frac{\pi {\left(\frac{d}{4}\right)}^2}{4}\cdot 8=40\cdot \frac{\pi d^2}{64}\cdot 8=5\pi d^2.$$

Так как сок просто перелили, не меняя его объёма, оба выражения для $V$ равны:

$$\frac{\pi d^2}{4}\cdot h=5\pi d^2.$$

Разделим обе части на $\pi d^2$:

$$\frac{h}{4}=5\Rightarrow h=20.$$

Ответ: $20$.