ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — вписанные тела

Основание правильной четырёхугольной призмы — квадрат. Цилиндр вписан в призму, значит окружность в основании цилиндра вписана в этот квадрат и касается всех его сторон. Диаметр окружности, вписанной в квадрат, равен стороне квадрата, поэтому сторона основания призмы равна удвоенному радиусу цилиндра:

$$a=2\cdot 5=10.$$

Так как цилиндр вписан в призму, он касается и верхнего, и нижнего оснований, поэтому высота призмы равна высоте цилиндра, то есть 5. Объём призмы равен произведению площади основания на высоту:

$$V=a^2\cdot h=10^2\cdot 5=500.$$

Ответ: 500.