ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — вписанные тела

Разбор — 1 балл

Рассмотрим треугольник $AOB$, где $O$ — центр сферы (он же центр основания конуса), $A$ — точка окружности основания конуса, $B$ — вершина конуса. Тогда $AB$ — образующая конуса.

Так как центр сферы совпадает с центром основания конуса, отрезок $BO$ — высота конуса, перпендикулярная плоскости основания, а значит, и радиусу $AO$ этой окружности: $BO\perp AO$. Кроме того, точки $A$ и $B$ лежат на сфере, поэтому $AO$ и $BO$ — радиусы сферы; обозначим радиус сферы $R$, тогда $AO=BO=R$.

В прямоугольном треугольнике $AOB$ по теореме Пифагора:

$$A{B}^2=A{O}^2+B{O}^2=R^2+R^2=2R^2.$$

По условию $AB=24\sqrt{2}$, поэтому:

$$2R^2=(24\sqrt{2}{)}^2=576\cdot 2=1152,$$

$$R^2=576,R=24.$$

Ответ: $24$.