ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — площадь поверхности

Разбор — 1 балл

Пусть $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $AC$ треугольника основания $ABC$, тогда $MN$ — средняя линия, и секущая плоскость, параллельная боковому ребру, отсекает призму $AMN{A}_1{M}_1{N}_1$ от исходной призмы $ABC{A}_1{B}_1{C}_1$.

Так как $M$ и $N$ — середины сторон, $AM=\frac{1}{2}AB$ и $AN=\frac{1}{2}AC$.

Боковая поверхность исходной призмы состоит из трёх параллелограммов — граней $A_1{B}_{1}BA$, $B_1{C}_{1}CB$, $A_1{C}_{1}CA$; боковая поверхность отсечённой призмы — тоже из трёх параллелограммов, построенных на отрезках $AM$, $MN$, $AN$ с теми же боковыми рёбрами.

У параллелограммов $A_1{M}_{1}MA$ и $A_1{B}_{1}BA$ совпадают высоты, опущенные на основания $AM$ и $AB$ (это одно и то же боковое ребро призмы), а основание $AM$ в $2$ раза меньше основания $AB$. Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, поэтому:

$$S_{A_1{M}_{1}MA}=\frac{1}{2}{S}_{A_1{B}_{1}BA}.$$

Аналогично для двух других пар граней:

$$S_{M_1{N}_{1}NM}=\frac{1}{2}{S}_{B_1{C}_{1}CB},S_{A_1{N}_{1}NA}=\frac{1}{2}{S}_{A_1{C}_{1}CA}.$$

Складывая три равенства, получаем, что площадь боковой поверхности отсечённой призмы равна половине площади боковой поверхности исходной:

$$S_{\text{отс}}=\frac{1}{2}{S}_{\text{исх}}=\frac{1}{2}\cdot 92=46.$$

Ответ: $46$.