ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — углы в многограннике

Разбор — 1 балл

Пусть $ABCD$ — грань прямоугольного параллелепипеда, являющаяся квадратом, а $A{C}_1$ — диагональ параллелепипеда из вершины $A$. Так как боковое ребро $C{C}_1$ перпендикулярно плоскости $ABCD$, диагональ $AC$ этой грани — проекция диагонали $A{C}_1$ на плоскость $ABCD$. Поэтому угол между диагональю параллелепипеда и гранью $ABCD$ равен углу между наклонной $A{C}_1$ и её проекцией $AC$, то есть $\angle C_{1}AC=45^{\circ }$.

В прямоугольном треугольнике $AC{C}_1$ (прямой угол при $C$) угол при вершине $A$ равен $45^{\circ }$, значит, и угол при $C_1$ равен $45^{\circ }$ — треугольник равнобедренный, и его катеты равны:

$$AC=C{C}_1=\frac{A{C}_1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{98}}{\sqrt{2}}=\sqrt{49}=7.$$

Площадь квадрата $ABCD$ через его диагональ $AC=7$:

$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot A{C}^2=\frac{1}{2}\cdot 49=24,5.$$

Объём параллелепипеда:

$$V=S_{ABCD}\cdot C{C}_1=24,5\cdot 7=171,5.$$

Ответ: $171,5$.