ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — площадь поверхности

Все грани правильного тетраэдра — равные правильные треугольники. Пусть ребро исходного тетраэдра равно $x$, а площадь одной грани равна $S$. После увеличения всех рёбер в $3$ раза новое ребро равно $3x$.

Правильные треугольники со сторонами $x$ и $3x$ подобны с коэффициентом подобия $k=3$, а площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия:

$$\frac{S^{\prime }}{S}=k^2=3^2=9.$$

Площадь каждой из четырёх граней увеличивается в $9$ раз, значит, во столько же раз увеличивается и вся площадь поверхности тетраэдра — сумма площадей граней.

Ответ: $9$.