ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — площадь поверхности

Площадь полной поверхности куба равна сумме площадей его $6$ граней-квадратов: $S=6a^2$, где $a$ — ребро куба.

По условию $S=162$, поэтому:

$$6a^2=162\Rightarrow a^2=27.$$

Диагональ куба находится по теореме Пифагора, применённой дважды (сначала к диагонали грани, затем к пространственной диагонали):

$$d=\sqrt{a^2+a^2+a^2}=a\sqrt{3}.$$

Отсюда

$$d^2=3a^2=3\cdot 27=81,d=\sqrt{81}=9.$$

Ответ: $9$.