ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — вписанные тела

Сфера касается всех шести граней описанного около неё прямоугольного параллелепипеда. Каждая пара противоположных граней — это две параллельные плоскости, касающиеся сферы с разных сторон, поэтому расстояние между ними равно диаметру сферы $2R.$ Это верно для всех трёх пар граней, значит, все три измерения параллелепипеда равны $2R,$ то есть он является кубом с ребром

$$a=2R=2\cdot 3=6.$$

Площадь поверхности куба вычисляется по формуле

$$S=6a^2=6\cdot 6^2=6\cdot 36=216.$$

Ответ: 216.