ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — объём

Объём тела, полученного равномерным увеличением (подобным преобразованием) исходного тела в $k$ раз, увеличивается в $k^3$ раз: объём измеряется в кубических единицах длины, а все линейные размеры при подобии умножаются на $k$.

Объём правильного тетраэдра с ребром $a$ вычисляется по формуле:

$$V=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}.$$

Если все рёбра увеличить в $6$ раз, новое ребро равно $6a$, и новый объём:

$$V^{\prime }=\frac{(6a{)}^3\sqrt{2}}{12}=6^3\cdot \frac{a^3\sqrt{2}}{12}=6^3\cdot V.$$

Так как $6^3=216$, объём увеличится в $216$ раз.

Ответ: $216$.