ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — вписанные тела

Разбор — 1 балл

Обозначим центр сферы (он совпадает с центром основания конуса) точкой $O$, вершину конуса — точкой $S$, произвольную точку окружности основания конуса — точкой $A$. Тогда $SA$ — образующая конуса, $OS$ — высота конуса, а $OA$ — радиус основания конуса.

Так как $O$ — центр основания, высота $OS$ перпендикулярна плоскости основания, а следовательно, и радиусу $OA$, лежащему в этой плоскости: $\angle SOA=90^{\circ }$.

Вершина $S$ и точка $A$ лежат на сфере (сфера содержит вершину конуса и окружность его основания), поэтому отрезки $OS$ и $OA$ — оба радиусы сферы: $OS=OA=R$.

Треугольник $SOA$ прямоугольный, его гипотенуза — образующая $SA$. По теореме Пифагора:

$$SA=\sqrt{O{S}^2+O{A}^2}=\sqrt{R^2+R^2}=R\sqrt{2}.$$

По условию $SA=18\sqrt{2}$, значит:

$$R\sqrt{2}=18\sqrt{2}\Rightarrow R=18.$$

Ответ: $18$.