ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — объём

Объём параллелепипеда $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ равен $V=A{A}_1\cdot AB\cdot AD=7,2$.

Вершины $A$, $C$, $B_1$, $D_1$ выбраны так, что никакие две из них не соединены ребром параллелепипеда. Если от параллелепипеда отрезать четыре треугольные пирамиды — с вершинами в оставшихся точках $B$, $D$, $A_1$, $C_1$ и основаниями из троек соседних по ребру вершин, — то останется ровно пирамида $A{D}_{1}C{B}_1$.

Каждая угловая пирамида построена на двух взаимно перпендикулярных рёбрах параллелепипеда как на катетах основания, а третье, перпендикулярное им ребро служит высотой, поэтому объём каждой такой пирамиды равен

$$V_{\text{угл}}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot AB\cdot AD\cdot A{A}_1=\frac{1}{6}V,$$

а все четыре вместе занимают $4\cdot \frac{1}{6}V=\frac{2}{3}V$. На искомую пирамиду остаётся:

$$V_{A{D}_{1}C{B}_1}=V-\frac{2}{3}V=\frac{1}{3}V=\frac{7,2}{3}=2,4.$$

Ответ: $2,4$.