ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — вписанные тела

Разбор — 1 балл

Если шар вписан в цилиндр, радиус шара равен радиусу основания цилиндра, а высота цилиндра равна диаметру шара. Пусть радиус шара (и основания цилиндра) равен $R$, тогда высота цилиндра $h=2R$.

Площадь полной поверхности цилиндра складывается из площадей двух оснований и боковой поверхности:

$$S_{\text{цил}}=2\pi R^2+2\pi R\cdot h=2\pi R^2+2\pi R\cdot 2R=2\pi R^2+4\pi R^2=6\pi R^2.$$

По условию $S_{\text{цил}}=21$, значит $6\pi R^2=21$, откуда $\pi R^2=3,5$.

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле $S_{\text{шар}}=4\pi R^2$. Подставим найденное значение:

$$S_{\text{шар}}=4\cdot 3,5=14.$$

Ответ: $14$.