ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — объём

Объём прямоугольного параллелепипеда $V=A{A}_1\cdot AB\cdot AD=7,8$.

Четыре вершины $A$, $C$, $B_1$, $D_1$ искомой пирамиды выбраны так, что никакие две из них не соединены ребром параллелепипеда. Если отрезать от параллелепипеда четыре треугольные пирамиды — каждая с вершиной в одной из оставшихся точек ($B$, $D$, $A_1$, $C_1$) и основанием из трёх соседних по ребру вершин, — то оставшаяся часть окажется в точности пирамидой $A{D}_{1}C{B}_1$.

Каждая из четырёх отрезаемых пирамид построена на двух взаимно перпендикулярных рёбрах параллелепипеда, выходящих из общей вершины, как на катетах основания, а третье ребро из той же вершины (перпендикулярное первым двум) служит высотой. Поэтому объём каждой такой пирамиды равен:

$$V_{\text{угл}}=\frac{1}{3}\cdot \left(\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AD\right)\cdot A{A}_1=\frac{1}{6}\cdot AB\cdot AD\cdot A{A}_1=\frac{1}{6}V.$$

Все четыре угловые пирамиды вместе занимают $4\cdot \frac{1}{6}V=\frac{2}{3}V$ объёма параллелепипеда. На искомую пирамиду остаётся:

$$V_{A{D}_{1}C{B}_1}=V-\frac{2}{3}V=\frac{1}{3}V=\frac{1}{3}\cdot 7,8=2,6.$$

Ответ: $2,6$.