ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — вписанные тела

Разбор — 1 балл

Если куб вписан в шар, все его вершины лежат на сфере, а диагональ куба — отрезок, соединяющий противоположные вершины и проходящий через центр сферы, — совпадает с диаметром сферы.

Пусть ребро куба равно $a$. Диагональ куба равна $a\sqrt{3}$. Радиус сферы равен половине диагонали:

$$R=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$

По условию $R=4,5\sqrt{3}$, поэтому:

$$\frac{a\sqrt{3}}{2}=4,5\sqrt{3}\Rightarrow \frac{a}{2}=4,5\Rightarrow a=9.$$

Объём куба равен кубу его ребра:

$$V=a^3=9^3=729.$$

Ответ: $729$.