ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — вписанные тела

Разбор — 1 балл

Так как шар вписан в цилиндр, он касается обоих оснований и боковой поверхности. Значит, радиус основания цилиндра равен радиусу шара $R,$ а высота цилиндра равна диаметру шара $2R.$

Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту:

$$V_{\text{ц}}=\pi R^2\cdot 2R=2\pi R^3.$$

Объём шара вычисляется по формуле

$$V_{\text{ш}}=\frac{4}{3}\pi R^3.$$

Найдём отношение этих объёмов:

$$\frac{V_{\text{ц}}}{V_{\text{ш}}}=\frac{2\pi R^3}{\frac{4}{3}\pi R^3}=\frac{3}{2}.$$

Значит, объём шара составляет две трети объёма цилиндра:

$$V_{\text{ш}}=\frac{2}{3}{V}_{\text{ц}}=\frac{2}{3}\cdot 114=76.$$

Ответ: 76.