ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — объём

Разбор — 1 балл

Пусть сторона основания шестиугольной призмы равна $a$, тогда по условию сторона основания треугольной призмы равна $2a$.

Правильный шестиугольник со стороной $a$ состоит из $6$ равных правильных треугольников со стороной $a$, поэтому его площадь:

$$S_{\text{шест}}=6\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^2.$$

Площадь правильного треугольника со стороной $2a$:

$$S_{\text{треуг}}=\frac{(2a{)}^2\sqrt{3}}{4}=a^2\sqrt{3}.$$

При переплавке лёд не меняет объём, поэтому объём исходной призмы высотой $12$ см равен объёму новой призмы высотой $h$:

$$S_{\text{шест}}\cdot 12=S_{\text{треуг}}\cdot h,$$

$$\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^2\cdot 12=a^2\sqrt{3}\cdot h.$$

Разделим обе части на $a^2\sqrt{3}$:

$$\frac{3}{2}\cdot 12=h\Rightarrow h=18.$$

Ответ: $18$.