ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — углы в многограннике

Разбор — 1 балл

Пусть грань $ABCD$ прямоугольного параллелепипеда — квадрат, а $A{C}_1$ — диагональ параллелепипеда, выходящая из вершины $A$. Так как боковое ребро $C{C}_1$ перпендикулярно плоскости $ABCD$, диагональ $AC$ этой грани — проекция диагонали $A{C}_1$ на плоскость $ABCD$. Поэтому угол между диагональю параллелепипеда и гранью $ABCD$ — это угол между наклонной и её проекцией, $\angle C_{1}AC=45^{\circ }$.

Треугольник $AC{C}_1$ прямоугольный (угол при вершине $C$ прямой, так как $C{C}_1\perp ABCD$), а угол при вершине $A$ равен $45^{\circ }$. Тогда и угол при вершине $C_1$ равен $180^{\circ }-90^{\circ }-45^{\circ }=45^{\circ }$ — треугольник равнобедренный с гипотенузой $A{C}_1$, поэтому его катеты равны:

$$AC=C{C}_1=\frac{A{C}_1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{9}=3.$$

Так как $ABCD$ — квадрат с диагональю $AC=3$, его площадь равна половине квадрата диагонали:

$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot A{C}^2=\frac{1}{2}\cdot 9=4,5.$$

Объём параллелепипеда равен площади основания, умноженной на высоту (боковое ребро $C{C}_1$):

$$V=S_{ABCD}\cdot C{C}_1=4,5\cdot 3=13,5.$$

Ответ: $13,5$.