ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — площадь поверхности

Диагональ куба с ребром $a$ соединяет противоположные вершины. Применим теорему Пифагора дважды: сначала найдём диагональ основания — квадрата со стороной $a$: $d_{\text{осн}}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$; затем, для прямоугольного треугольника, образованного этой диагональю, боковым ребром и диагональю куба:

$$d=\sqrt{d_{\text{осн}}^2+a^2}=\sqrt{2a^2+a^2}=a\sqrt{3}.$$

По условию $d=13$, поэтому $a\sqrt{3}=13$, откуда $a^2=\frac{169}{3}$.

Площадь полной поверхности куба равна сумме площадей его $6$ одинаковых квадратных граней:

$$S=6a^2=6\cdot \frac{169}{3}=2\cdot 169=338.$$

Ответ: $338$.