ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — углы в многограннике

Разбор — 1 балл

Прямая $A_1{B}_1$ параллельна прямой $C_1{D}_1$ — это противоположные стороны грани $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ куба. При параллельном переносе одной из пересекающихся прямых угол между ними не меняется, поэтому угол между прямыми $KM$ и $A_1{B}_1$ равен углу между прямыми $KM$ и $C_1{D}_1$.

Прямые $KM$ и $C_1{D}_1$ лежат в одной плоскости — плоскости, проходящей через точку $K\in C{C}_1$ и прямую $C_1{D}_1$. Продолжим отрезок $MK$ за точку $K$ до пересечения с прямой $C_1{D}_1$; обозначим точку пересечения $R$.

Рассмотрим треугольники $MCK$ и $R{C}_{1}K$. Угол $MKC$ равен углу $RK{C}_1$ как вертикальные (прямые $MR$ и $C{C}_1$ пересекаются в точке $K$). Углы $MCK$ и $R{C}_{1}K$ прямые, так как ребро $C{C}_1$ перпендикулярно рёбрам $CD$ и $C_1{D}_1$ основания. Наконец, $K$ — середина ребра $C{C}_1$ по условию, поэтому $CK=C_{1}K$. Значит, прямоугольные треугольники $MCK$ и $R{C}_{1}K$ равны по катету и острому углу.

Из равенства треугольников следует $\angle KR{C}_1=\angle KMC$, то есть угол между прямыми $KM$ и $C_1{D}_1$ равен углу $KMC$.

Найдём угол $KMC$ в прямоугольном треугольнике $KMC$ (прямой угол при вершине $C$). Пусть ребро куба равно $a$. Точка $M$ — середина $CD$, поэтому $CM=\frac{a}{2}$; точка $K$ — середина $C{C}_1$, поэтому $CK=\frac{a}{2}$. Значит, $CM=CK$, треугольник $KMC$ равнобедренный с прямым углом при вершине $C$, а его острые углы равны по $45^{\circ }$.

Таким образом, угол между прямыми $KM$ и $A_1{B}_1$ равен $45^{\circ }$.

Ответ: $45$.