ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — объём

Разбор — 1 балл

Пусть $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $AC$ треугольника основания $ABC$. Тогда $MN$ — средняя линия, поэтому $MN\parallel BC$, а треугольники $AMN$ и $ABC$ подобны (общий угол при вершине $A$, прилежащие стороны пропорциональны) с коэффициентом подобия $k=\frac{1}{2}$.

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

$$\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}}=k^2={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}.$$

Секущая плоскость, отсекающая призму $AMN{A}_1{M}_1{N}_1$, параллельна боковому ребру, поэтому высоты отсечённой и исходной призм (измеренные вдоль бокового ребра) совпадают. Объём призмы равен произведению площади основания на высоту, значит, отношение объёмов равно отношению площадей оснований:

$$\frac{V_{\text{отс}}}{V_{\text{исх}}}=\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}}=\frac{1}{4}.$$

Отсюда

$$V_{\text{отс}}=\frac{1}{4}\cdot V_{\text{исх}}=\frac{1}{4}\cdot 52=13.$$

Ответ: $13$.