ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — вписанные тела

Разбор — 1 балл

Обозначим центр сферы (он же центр основания конуса) точкой $O$, вершину конуса — точкой $A$, произвольную точку окружности основания — точкой $H$. Тогда $AH$ — образующая конуса, $OA$ — высота конуса, а $OH$ — радиус основания конуса.

Так как $O$ — центр основания конуса, высота $OA$ перпендикулярна плоскости основания, а значит, и радиусу $OH$, лежащему в этой плоскости: $\angle AOH=90^{\circ }$.

Вершина $A$ и точка $H$ лежат на сфере (по условию сфера содержит вершину конуса и окружность его основания), поэтому отрезки $OA$ и $OH$ — оба радиусы сферы. Обозначим радиус сферы $R$, тогда $OA=OH=R$.

Треугольник $AOH$ прямоугольный, его гипотенуза — образующая $AH$. По теореме Пифагора:

$$AH=\sqrt{O{A}^2+O{H}^2}=\sqrt{R^2+R^2}=R\sqrt{2}.$$

По условию образующая равна $18\sqrt{2}$, поэтому:

$$R\sqrt{2}=18\sqrt{2}\Rightarrow R=18.$$

Ответ: $18$.