Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A,B,D,E₁ правильной… — 3 задание ЕГЭ профиль

№3 Объём средняя 2026

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A, B, D, E_{1}$ правильной шестиугольной призмы $A B C D E F A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} E_{1} F_{1},$ площадь основания которой равна 18, а боковое ребро равно 6.

Разбор — 1 балл

Многогранник с вершинами $A,$ $B,$ $D,$ $E_{1}$ — это треугольная пирамида с основанием $A B D$ и вершиной $E_{1} .$

Правильный шестиугольник можно разбить диагоналями, проведёнными из его центра, и перпендикулярами к сторонам на 12 одинаковых прямоугольных треугольников. Треугольник $A B D$ составляют 4 таких треугольника, значит, его площадь равна

$S_{A B D} = \frac{4}{12} S_{A B C D E F} = \frac{1}{3} \cdot 18 = 6.$

Призма $A B C D E F A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} E_{1} F_{1}$ правильная, поэтому её боковые рёбра перпендикулярны основанию. Значит, ребро $E E_{1},$ равное 6, одновременно служит высотой пирамиды $A B D E_{1},$ опущенной из вершины $E_{1}$ на плоскость основания $A B D$ (эта плоскость совпадает с плоскостью нижнего основания призмы).

Объём пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{A B D} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot 6 = 12.$

Ответ: 12.

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — объём

Сообщить об ошибке

Ещё задания №3