В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известно, что AB=9, BC=7, AA₁=6. Найдите объём многогранника, вершинами которого… — 3 задание ЕГЭ профиль

№3 Объём лёгкая

В прямоугольном параллелепипеде $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ известно, что $A B = 9$ , $B C = 7$ , $A A_{1} = 6$ . Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$ , $B$ , $C$ , $B_{1}$ .

Разбор — 1 балл

Многогранник с вершинами $A$ , $B$ , $C$ , $B_{1}$ — треугольная пирамида: в основании лежит треугольник $A B C$ , а вершина пирамиды — точка $B_{1}$ .

Треугольник $A B C$ прямоугольный, так как угол при вершине $B$ прямой ( $A B C D$ — прямоугольник); его катеты — стороны $A B = 9$ и $B C = 7$ . Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

$S_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot B C = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 7 = 31, 5.$

Боковое ребро $B B_{1}$ прямоугольного параллелепипеда перпендикулярно плоскости основания $(A B C)$ (все боковые рёбра перпендикулярны основаниям), поэтому именно $B B_{1}$ служит высотой пирамиды. Противоположные боковые рёбра параллелепипеда равны, значит $B B_{1} = A A_{1} = 6$ .

Объём пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{A B C} \cdot B B_{1} = \frac{1}{3} \cdot 31, 5 \cdot 6 = 63.$

Рисунок к решению

Ответ: $63$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — объём

Сообщить об ошибке

Ещё задания №3