ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — объём

Средняя линия треугольника соединяет середины двух его сторон и отсекает треугольник, подобный исходному, с коэффициентом подобия $\frac{1}{2}$ (признак подобия по общему углу и пропорциональным сторонам). Значит, треугольник в основании отсечённой призмы подобен треугольнику основания исходной призмы с коэффициентом $k=\frac{1}{2}$.

Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому площадь основания отсечённой призмы меньше площади основания исходной в

$$k^2={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}\text{раза}.$$

Секущая плоскость параллельна боковому ребру, поэтому высота отсечённой призмы (расстояние между основаниями, измеренное вдоль бокового ребра) совпадает с высотой исходной призмы. Объём призмы равен произведению площади основания на высоту; так как высота не меняется, объём отсечённой призмы тоже составляет $\frac{1}{4}$ объёма исходной:

$$V_{\text{отс}}=\frac{1}{4}\cdot V_{\text{исх}}=\frac{1}{4}\cdot 24=6.$$

Ответ: $6$.