ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — вписанные тела

Разбор — 1 балл

Конус вписан в шар так, что радиус основания конуса равен радиусу шара $R$. Это означает, что окружность основания конуса — большая окружность шара (окружность наибольшего диаметра), то есть основание конуса проходит через центр шара. Поэтому высота конуса — расстояние от центра шара до вершины конуса, лежащей на шаре, — тоже равна радиусу шара: $h=R$.

Объём конуса:

$$V_{\text{кон}}=\frac{1}{3}\pi R^2\cdot R=\frac{1}{3}\pi R^3.$$

Объём шара:

$$V_{\text{шар}}=\frac{4}{3}\pi R^3.$$

Отношение этих объёмов не зависит от $R$:

$$\frac{V_{\text{шар}}}{V_{\text{кон}}}=\frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{\frac{1}{3}\pi R^3}=4.$$

Значит, объём шара всегда в $4$ раза больше объёма такого конуса. По условию $V_{\text{кон}}=12$, поэтому

$$V_{\text{шар}}=4\cdot V_{\text{кон}}=4\cdot 12=48.$$

Ответ: $48$.