Объем правильной четырехугольной пирамиды SABCD равен 36. Точка E "… — 3 задание ЕГЭ профиль

№3 Объём средняя 2024

Объем правильной четырехугольной пирамиды $S A B C D$ равен 36. Точка $E$ "— середина ребра $S B .$ Найдите объем треугольной пирамиды $E A B C .$

Разбор — 1 балл

Пусть $h$ — высота правильной четырёхугольной пирамиды $S A B C D,$ опущенная из вершины $S$ на плоскость основания. Тогда

$V_{S A B C D} = \frac{1}{3} \cdot S_{A B C D} \cdot h = 36.$

Точка $E$ — середина ребра $S B .$ Высота точки $E$ над плоскостью основания равна половине расстояния от $S$ до этой плоскости (так как $B$ лежит в самой плоскости основания), то есть высота пирамиды $E A B C$ равна $\frac{1}{2} h .$

Треугольник $A B C$ — это половина квадрата $A B C D,$ отсечённая диагональю $A C,$ поэтому его площадь равна $\frac{1}{2} S_{A B C D} .$ Этот треугольник лежит в той же плоскости, что и квадрат $A B C D .$

Объём пирамиды $E A B C$ равен

$V_{E A B C} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} S_{A B C D} \cdot \frac{1}{2} h = \frac{1}{4} \cdot (\frac{1}{3} S_{A B C D} \cdot h) = \frac{1}{4} V_{S A B C D} = \frac{1}{4} \cdot 36 = 9.$

Ответ: 9.

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — объём

Сообщить об ошибке

Ещё задания №3