ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — площадь поверхности

Разбор — 1 балл

Площадь полной поверхности пирамиды состоит из площади основания и площади боковой поверхности.

Пирамида правильная, поэтому в основании лежит квадрат $ABCD$ со стороной $6$, а все боковые рёбра равны: $SA=SB=SC=SD=5$. Площадь основания — площадь квадрата:

$$S_{\text{осн}}=A{B}^2=6^2=36.$$

Боковая поверхность состоит из четырёх равных равнобедренных треугольников. Рассмотрим грань $SAB$ со сторонами $AB=6$, $SA=SB=5$. Проведём в этом треугольнике высоту $SM$ к основанию $AB$ — в равнобедренном треугольнике высота к основанию делит его пополам, поэтому $AM=MB=3$.

В прямоугольном треугольнике $SAM$ по теореме Пифагора найдём высоту боковой грани (апофему):

$$SM=\sqrt{S{A}^2-A{M}^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4.$$

Площадь одной боковой грани равна половине произведения основания на высоту:

$$S_{△}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot SM=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4=12.$$

Все четыре боковые грани равны, поэтому площадь всей боковой поверхности равна

$$S_{\text{бок}}=4\cdot 12=48.$$

Площадь полной поверхности пирамиды:

$$S_{\text{полн}}=S_{\text{осн}}+S_{\text{бок}}=36+48=84.$$

Ответ: $84$.